Merge branch 'master' into PC

.obsidian/workspace.json

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Mathe/KW17/KW17.md

@@ -1,72 +1,88 @@
-Gegeben sei der Vektor x im $\mathbb{R}^3$ durch die Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$, $\gamma=1$ bezüglich der Basis. Vektor a={$1,2,3$}, Vektor b={$1,3,1$}, Vektor c={$3,20,2$}. Bestimme die Koordinaten von $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ von Vektor x bezüglich der neuen Basis Vektor p={$0,1,2$}, Vektor q={$1,1,0$}, Vektor v={$1,2,1$}.
+# 1
+Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor $x$ in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$ und $\gamma=1$ und die Basisvektoren $a$, $b$ und $c$. 
 
-1. Vektor x in der Standardbasis ausdrücken:
+$x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}$.
 
-$$
+Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren $a$, $b$ und $c$ in Bezug auf die neue Basis $p$, $q$ und $v$ finden. Wir erhalten eine Matrix $M$:
-x = \alpha a + \beta b + \gamma c \\
-x = (1){1,2,3} + (-1){1,3,1} + (1){3,20,2} \\
-x = {1,2,3} - {1,3,1} + {3,20,2} \\
-x = {3,19,4}
-$$
 
-2. Koordinaten von Vektor x in der neuen Basis berechnen:
+$M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix}$,
 
-Wir möchten Vektor x in der neuen Basis darstellen, also:
+wobei $P_a$, $P_b$ und $P_c$ die Koordinaten von $a$, $b$ und $c$ bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen:
 
-$$
+$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$
-x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v
-$$
 
-wobei $\alpha'$, $\beta'$ und $\gamma'$ die Koordinaten in der neuen Basis sind.
+Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:
 
-Um dies zu tun, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen, das aus den Vektoren p, q und v gebildet wird:
+$M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
 
-$$
+Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix $M$ mit dem Vektor $x$:
-\begin{bmatrix}
-  0 & 1 & 1 \\
-  1 & 1 & 2 \\
-  2 & 0 & 1 \\
-\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
-  \alpha' \\
-  \beta' \\
-  \gamma' \\
-\end{bmatrix} =
-\begin{bmatrix}
-  3 \\
-  19 \\
-  4 \\
-\end{bmatrix}
-$$
 
-Wir lösen dieses lineare Gleichungssystem, um $\alpha'$, $\beta'$ und $\gamma'$ zu erhalten:
+$x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
 
-Durch Lösen des Gleichungssystems erhalten wir:
+Daher sind die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis:
 
-$$
+$\alpha' = 2$, $\beta' = -1$, $\gamma' = 1$.
-\alpha' = 0 \\
-\beta' = 1 \\
-\gamma' = -0.5
-$$
 
-Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis $(\alpha', \beta', \gamma') = (0, 1, -0.5)$.
+Da wir nun die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten $\alpha' = 2$, $\beta' = -1$ und $\gamma' = 1$ verwenden, um den Vektor $x$ in der neuen Basis auszudrücken:
 
-Da wir nun die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis $(\alpha', \beta', \gamma') = (0, 1, -0.5)$ haben, können wir diese verwenden, um Vektor x in der neuen Basis auszudrücken:
+$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
 
-$$
+Der Vektor $x$ ist also in der neuen Basis gleich:
-x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v \\
-x = 0{0,1,2} + 1{1,1,0} + (-0.5){1,2,1}
-$$
 
-Vereinfachen wir dies:
+$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
 
-$$
+Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor $x$ in der neuen Basis $p$, $q$ und $v$ gefunden und den Vektor $x$ in dieser Basis ausgedrückt.
-x = {0,0,0} + {1,1,0} - {0.5,1,0.5} \\
-x = {1,1,0} - {0.5,1,0.5} \\
-x = {0.5,0,-0.5}
-$$
 
-Daher ist der Vektor x in der neuen Basis (p, q, v) gleich {0.5, 0, -0.5}. Beachten Sie jedoch, dass das Ergebnis aufgrund von Rundungsfehlern leicht abweichen kann. Um genauere Ergebnisse zu erhalten, empfiehlt es sich, eine Software wie Mathematica oder MATLAB zu verwenden, die numerische Berechnungen mit höherer Präzision durchführen kann.
+# 2
 
-Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis (p, q, v) bestimmt und den Vektor x in dieser neuen Basis ausgedrückt.
+Vektor x kann in der Basis {a, b, c} wie folgt dargestellt werden:  $$x = \alpha a + \beta b + \gamma c$$  Da wir die baryzentrischen Koordinaten haben: $$\alpha = -4, \beta = 2, \gamma = 3$$ und die Vektoren $$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$  Berechnen wir x:  $$x = -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Jetzt möchten wir x in der neuen Basis {p, q, v} ausdrücken:  $$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v$$  Mit den Vektoren $$p = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}, q = \begin{bmatrix} -4 \\ -7 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte:  $$-6 = \alpha' + (-4)\beta' + (-1)\gamma'$$ $$0 = 5\alpha' + (-7)\beta'$$  Da der Vektor x im $$\mathbb{R}^2$$ liegt, haben wir nur zwei Gleichungen zur Verfügung. Wir lösen das Gleichungssystem:  $$ \begin{cases} -6 = \alpha' - 4\beta' - \gamma' \\ 0 = 5\alpha' - 7\beta' \end{cases} $$  Das Gleichungssystem hat die Lösung:  $$\alpha' = -\frac{14}{3}, \beta' = -\frac{10}{3}, \gamma' = -\frac{16}{3}$$  Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis {p, q, v}:  $$x = -\frac{14}{3}p -\frac{10}{3}q -\frac{16}{3}v$$`
+# 3
+
+Um die Zentralprojektion des Punktes Vektor x auf die durch die Vektoren a und b gegebene Projektionsebene zu finden, verwenden wir die Formel für die Zentralprojektion eines Punktes auf eine Ebene:
+
+$$\textbf{p} = \textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})$$
+
+Dabei ist Vektor $$\textbf{p}$$ der Projektionspunkt auf der Ebene, Vektor $$\textbf{x}$$ der gegebene Punkt, Vektor $$\textbf{c}$$ das Projektionszentrum und $$t$$ ein Skalar, das noch berechnet werden muss.
+
+Um $$t$$ zu berechnen, verwenden wir die Ebenengleichung:
+
+$$(\textbf{p} - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$
+
+Dabei ist Vektor $$\textbf{n}$$ der Normalenvektor der Ebene, der aus dem Kreuzprodukt von Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ berechnet wird:
+
+$$\textbf{n} = \textbf{a} \times \textbf{b}$$
+
+$$\textbf{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
+
+Jetzt setzen wir die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ in die Ebenengleichung ein:
+
+$$((\textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})) - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$
+
+$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$
+
+Subtrahiere die Vektoren und multipliziere sie mit Vektor $$\textbf{n}$$:
+
+$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix})) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$
+
+Nun berechnen wir das Skalarprodukt und lösen nach $$t$$ auf:
+
+$$(1 - 2t) * 2 + (1) * 2 + (1 + 2t) * (-1) = 0$$
+$$2 - 4t + 2 - 1 - 2t = 0$$
+$$3 - 6t = 0$$
+
+$$t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
+
+Jetzt setzen wir den Wert von $$t$$ in die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ ein:
+
+$$\textbf{p} = \textbf{x} + \frac{1}{2} (\textbf{c} - \textbf{x})$$
+
+$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})$$
+
+$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$
+
+$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
+
+$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$
+
+Der gesuchte Punkt Vektor $$\textbf{p}$$ der Zentralprojektion des Punktes Vektor $$\textbf{x}$$ in die durch Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ gegebene Projektionsebene durch das Projektionszentrum Vektor $$\textbf{c}$$ ist $$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T$$
 

conflict-files-obsidian-git.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Conflicts
+Please resolve them and commit them using the commands `Obsidian Git: Commit all changes` followed by `Obsidian Git: Push`
+(This file will automatically be deleted before commit)
+[[#Additional Instructions]] available below file list
+
+- Not a file: .obsidian/workspace.json
+- [[KW17]]
+
+# Additional Instructions
+I strongly recommend to use "Source mode" for viewing the conflicted files. For simple conflicts, in each file listed above replace every occurrence of the following text blocks with the desired text.
+
+```diff
+<<<<<<< HEAD
+    File changes in local repository
+=======
+    File changes in remote repository
+>>>>>>> origin/main
+```