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Mathe/KW17/KW17.md

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+# 1
+Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor $x$ in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$ und $\gamma=1$ und die Basisvektoren $a$, $b$ und $c$. 
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+$x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}$.
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+Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren $a$, $b$ und $c$ in Bezug auf die neue Basis $p$, $q$ und $v$ finden. Wir erhalten eine Matrix $M$:
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+$M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix}$,
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+wobei $P_a$, $P_b$ und $P_c$ die Koordinaten von $a$, $b$ und $c$ bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen:
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+$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$
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+Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:
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+$M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
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+Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix $M$ mit dem Vektor $x$:
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+$x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
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+Daher sind die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis:
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+$\alpha' = 2$, $\beta' = -1$, $\gamma' = 1$.
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+Da wir nun die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten $\alpha' = 2$, $\beta' = -1$ und $\gamma' = 1$ verwenden, um den Vektor $x$ in der neuen Basis auszudrücken:
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+$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
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+Der Vektor $x$ ist also in der neuen Basis gleich:
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+$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
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+Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor $x$ in der neuen Basis $p$, $q$ und $v$ gefunden und den Vektor $x$ in dieser Basis ausgedrückt.
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+# 2
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+Vektor x kann in der Basis {a, b, c} wie folgt dargestellt werden:  $$x = \alpha a + \beta b + \gamma c$$  Da wir die baryzentrischen Koordinaten haben: $$\alpha = -4, \beta = 2, \gamma = 3$$ und die Vektoren $$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$  Berechnen wir x:  $$x = -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Jetzt möchten wir x in der neuen Basis {p, q, v} ausdrücken:  $$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v$$  Mit den Vektoren $$p = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}, q = \begin{bmatrix} -4 \\ -7 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte:  $$-6 = \alpha' + (-4)\beta' + (-1)\gamma'$$ $$0 = 5\alpha' + (-7)\beta'$$  Da der Vektor x im $$\mathbb{R}^2$$ liegt, haben wir nur zwei Gleichungen zur Verfügung. Wir lösen das Gleichungssystem:  $$ \begin{cases} -6 = \alpha' - 4\beta' - \gamma' \\ 0 = 5\alpha' - 7\beta' \end{cases} $$  Das Gleichungssystem hat die Lösung:  $$\alpha' = -\frac{14}{3}, \beta' = -\frac{10}{3}, \gamma' = -\frac{16}{3}$$  Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis {p, q, v}:  $$x = -\frac{14}{3}p -\frac{10}{3}q -\frac{16}{3}v$$`