diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 980c708..e1a7c00 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -121,7 +121,7 @@ "state": { "type": "backlink", "state": { - "file": "Mathe/KW17/KW17-GeoTra.pdf", + "file": "Mathe/KW17/KW17.md", "collapseAll": false, "extraContext": false, "sortOrder": "alphabetical", @@ -138,7 +138,7 @@ "state": { "type": "outgoing-link", "state": { - "file": "Mathe/KW17/KW17-GeoTra.pdf", + "file": "Mathe/KW17/KW17.md", "linksCollapsed": false, "unlinkedCollapsed": true } @@ -161,7 +161,7 @@ "state": { "type": "outline", "state": { - "file": "Mathe/KW17/KW17-GeoTra.pdf" + "file": "Mathe/KW17/KW17.md" } } }, @@ -222,7 +222,7 @@ "juggl:Juggl global graph": false } }, - "active": "923f0d93a2fb61f2", + "active": "4759485602209736", "lastOpenFiles": [ "Mathe/KW17/KW17-GeoTra.pdf", "Mathe/KW17/KW17-GeoTra_vor.pdf", diff --git a/Mathe/KW17/KW17.md b/Mathe/KW17/KW17.md index f85c5d4..80074ea 100644 --- a/Mathe/KW17/KW17.md +++ b/Mathe/KW17/KW17.md @@ -1,37 +1,5 @@ # 1 -Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor $x$ in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$ und $\gamma=1$ und die Basisvektoren $a$, $b$ und $c$. -$x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}$. - -Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren $a$, $b$ und $c$ in Bezug auf die neue Basis $p$, $q$ und $v$ finden. Wir erhalten eine Matrix $M$: - -$M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix}$, - -wobei $P_a$, $P_b$ und $P_c$ die Koordinaten von $a$, $b$ und $c$ bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen: - -$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ - -Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt: - -$M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$. - -Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix $M$ mit dem Vektor $x$: - -$x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$. - -Daher sind die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis: - -$\alpha' = 2$, $\beta' = -1$, $\gamma' = 1$. - -Da wir nun die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten $\alpha' = 2$, $\beta' = -1$ und $\gamma' = 1$ verwenden, um den Vektor $x$ in der neuen Basis auszudrücken: - -$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$. - -Der Vektor $x$ ist also in der neuen Basis gleich: - -$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$. - -Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor $x$ in der neuen Basis $p$, $q$ und $v$ gefunden und den Vektor $x$ in dieser Basis ausgedrückt. # 2