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SS23/Mathe/KW20/KW20.md

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+# 2
+Um den Kern und das Bild einer linearen Abbildung zu bestimmen, sowie deren Basis und Determinanten, müssen wir zuerst die Matrix der linearen Abbildung erstellen. Die gegebenen Wirkungen der linearen Abbildung auf die Einheitsbasis ergeben die Spalten der Matrix. 
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+Die gegebene lineare Abbildung wirkt wie folgt auf die Einheitsbasis:
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+L(1,0,0) = (10,1,3)
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+L(0,1,0) = (0,6,3)
+
+L(0,0,1) = (2,4,8)
+
+Daraus ergibt sich die Matrix der linearen Abbildung:
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+A = [[10, 0, 2],
+     [1, 6, 4],
+     [3, 3, 8]]
+
+Der Kern (Nullraum) der linearen Abbildung ist der Lösungsraum der homogenen Gleichung Ax = 0. Das Bild (Spannraum) der linearen Abbildung ist der Raum, der von den Spalten der Matrix aufgespannt wird. Die Determinante der Matrix gibt an, wie viel das Volumen im Raum durch die lineare Abbildung verändert wird.
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+Lassen Sie uns diese Berechnungen durchführen.
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+Der Kern (Nullraum) der gegebenen linearen Abbildung ist leer. Das bedeutet, dass es keine nicht-triviale Lösung für die Gleichung Ax = 0 gibt, oder anders ausgedrückt, die einzige Lösung ist der Nullvektor. Dies impliziert, dass die gegebene lineare Abbildung injektiv ist.
+
+Nun bestimmen wir das Bild (Spannraum) der linearen Abbildung.
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+Entschuldigen Sie, es scheint, dass es einen Fehler in meiner Berechnung gab. Die Funktion `ColumnSpace` ist in der Wolfram Cloud nicht verfügbar. Stattdessen können wir die Rang-Methode verwenden, um die Dimension des Bildes zu bestimmen. Lassen Sie uns das versuchen.
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+Die Dimension des Bildes (Spannraums) der gegebenen linearen Abbildung ist 3. Das bedeutet, dass das Bild der Abbildung der gesamte Raum \(\mathbb{Z}_{11}^3\) ist. Dies impliziert, dass die gegebene lineare Abbildung surjektiv ist.
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+Die Basis des Bildes ist dann einfach die Menge der Spaltenvektoren der Matrix, da diese offensichtlich den gesamten Raum aufspannen. Also ist die Basis des Bildes:
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+B = {(10,1,3), (0,6,3), (2,4,8)}
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+Nun berechnen wir die Determinante der Matrix.
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+Die Determinante der Matrix der gegebenen linearen Abbildung ist 330. 
+
+Zusammenfassend haben wir:
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+- Kern(L) = {0}, d.h., der Kern ist nur der Nullvektor.
+- Bild(L) = \(\mathbb{Z}_{11}^3\), d.h., das Bild ist der gesamte Raum.
+- Die Basis des Kerns ist leer, da der Kern nur den Nullvektor enthält.
+- Die Basis des Bildes ist {(10,1,3), (0,6,3), (2,4,8)}.
+- Die Determinante der Matrix der linearen Abbildung ist 330.