diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index 36be151..5d811f1 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -321,6 +321,8 @@ PFy Phs PDFMaker PowerPoint +PIa +PWF obj oV oYj @@ -655,6 +657,8 @@ oTv oQI okv oGd +ouu +oej Length LCw LN @@ -1013,6 +1017,8 @@ Lam LeHo LOx Library +LKB +LHx Filter FlateDecode Ff @@ -1373,6 +1379,8 @@ FEGA FEE FPI FKW +Fyd +FontFamily stream se sH @@ -1724,6 +1732,11 @@ snL sfv sFh sJPW +sgw +sloz +sYr +sCj +seLF ZKs ZN Zf @@ -2076,6 +2089,7 @@ ZzWj ZqJ ZLK ZUS +Zou Who We WE @@ -2456,6 +2470,7 @@ Wyx Wel Wodyx WOb +WinAnsiEncoding KI Kt KF @@ -2799,6 +2814,7 @@ KtG KZW KEIEIEIEIE KLy +KIL bq bQ bG @@ -3156,6 +3172,9 @@ bMsK bOQ bOt begin +bpvf +bqL +bRm iZ ig iA @@ -3864,6 +3883,8 @@ GTR GmJ Ghq GKs +Gzv +GeL AO Aw Az @@ -4210,6 +4231,9 @@ Aeq Asoe Acrobat Alt +AZc +AGx +Aek QV Qom QJ @@ -4548,6 +4572,7 @@ QQV QgR Qqx Qiry +QWR nQC nq nR @@ -5283,6 +5308,7 @@ YiaO YKo YdB YAA +YoRN UIQ Ue UH @@ -5640,6 +5666,11 @@ UPm UwE UuC UDu +Uzu +UvC +UAx +UTp +UQW TZ TF TP @@ -5992,6 +6023,7 @@ TBlx TWs Titel Tools +Tlyx gO gHoVo gD @@ -6323,6 +6355,11 @@ goP gvX gAN gTU +grE +gVP +gCQ +giA +glQ DMg Dv DLg @@ -6662,6 +6699,10 @@ DIebI Dyv Description DocumentID +DEJ +Duh +DejaVuSans +DejaVu xU xM xK @@ -6953,6 +6994,8 @@ xmpmeta xmptk xmp xmpMM +xfj +xMy Hx HV HdH @@ -7260,6 +7303,12 @@ HHXXh HAmik HTY HUIUVU +HlRd +HMI +HHZ +HXkl +HDk +Hlb zo zL zE @@ -7614,6 +7663,10 @@ zDF zQu zTJkTv zoc +zpO +zSQJ +zjI +zrE hr hAa hH @@ -7957,6 +8010,10 @@ hSz hGy hOA hBV +hAr +hOy +hNm +hyTl pt ps pao @@ -8305,6 +8362,8 @@ pmp pbp pXz pSp +pgP +pGy Ic IT Ir @@ -8645,6 +8704,8 @@ IzK Iso IJj InstanceID +Inq +IVN ap aE at @@ -8996,6 +9057,10 @@ aUbH adobe about abb +act +atRr +aWH +aON fb fVVvD fh @@ -9711,6 +9776,10 @@ Bxp BKX BAn Bek +BqQ +BzB +BfFXfF +BXRPTF ek eP eVPm @@ -10848,6 +10917,7 @@ JzD JqU JYMC JFk +Jue kXW kW kp @@ -11163,6 +11233,8 @@ kMZ kSo kQS kxu +kdv +ktU EU Evq Er @@ -11866,6 +11938,10 @@ lsK leg lRT lang +lXC +leq +laB +lROaK wG wd ws @@ -12197,6 +12273,7 @@ wpt whiqw wmmI wlrR +wfx RmZh Rp RJ @@ -12580,6 +12657,11 @@ RWw RmS RUP RDF +RuF +RGs +Rfo +RnK +RsMq vJ vS vKDF @@ -12968,6 +13050,8 @@ vFg vdw vxE vwc +vzU +vhb XE Xd XRb @@ -13290,6 +13374,7 @@ XUv XMo XML XMP +XVns NW Ni Nj @@ -13641,6 +13726,8 @@ Nol NJE NjMy NLb +NZg +Nme jhpK jb jl @@ -13975,6 +14062,7 @@ jpr jza jzf jnoJ +jRRv My Mm MO @@ -14285,6 +14373,7 @@ Metadata MpCehiHzreSzNTczkc ModifyDate MetadataDate +MQO qO qj qG @@ -14574,6 +14663,7 @@ qGS qsA qKm qÄ +qLJ yB yyNs yQU @@ -15281,6 +15371,7 @@ uGh uUQTß ugM uuid +uCC ma ml mB @@ -15634,6 +15725,8 @@ mTp mMG mjP meta +mlu +mJZ dg dw de @@ -16013,6 +16106,9 @@ djtrau dbX dOd default +dSR +dZQ +dCJ VV VA Vsm @@ -16357,6 +16453,7 @@ VFJ Voo VsD Vow +VgfnZv SGN Sg SrEHO @@ -16740,6 +16837,12 @@ SPJu SWZ SvN Sush +Sbi +SSmL +Sfc +SBr +Sans +StemH rn rE rD @@ -17108,6 +17211,9 @@ rPQIY ruv rhA rDi +rqT +rhmD +rEs Cu CL Ch @@ -17425,6 +17531,9 @@ CzYL Core CreateDate CreatorTool +CuH +Clj +CbR OM OWR Os @@ -17729,6 +17838,7 @@ OTOG OVH OUf OlZEW +Ola cgl cj content @@ -18050,6 +18160,9 @@ cuP cxR cNV cca +cPz +cfG +cairo öUS öG öT @@ -18083,4 +18196,5 @@ cca ßI ßVq ÖUF -ÖoNt \ No newline at end of file +ÖoNt +ÖR \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 66513f5..e64c648 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -18,8 +18,21 @@ "source": false } } + }, + { + "id": "37f397ecb6b62143", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Mathe/KW16/UEB.md", + "mode": "source", + "source": false + } + } } - 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Berechne die Determinante von $(A - \lambda I)$, wobei $\lambda$ der Eigenwert und $I$ die Identitätsmatrix ist: + +$$ +\begin{vmatrix} +18 - \lambda & -20 \\ +24 & -26 - \lambda +\end{vmatrix} +$$ + +2. Berechne die Determinante dieser Matrix: + +$$(18 - \lambda)((-26) - \lambda) - (-20)(24)$$ + +$$\lambda^2 - (-8)\lambda - 120$$ + +3. Löse das charakteristische Polynom, um die Eigenwerte zu erhalten: + +$$\lambda^2 + 8\lambda - 120 = 0$$ + +Mit der quadratischen Formel erhalten wir: + +$$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ + +In unserem Fall sind $a = 1$, $b = 8$ und $c = -120$: + +$$\lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 * 1 * (-120)}}{2 * 1}$$ + +$$\lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{256 + 480}}{2}$$ + +$$\lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{736}}{2}$$ + +Die beiden Eigenwerte sind: + +$$\lambda_1 = \frac{-8 + \sqrt{736}}{2} \approx 4$$ +$$\lambda_2 = \frac{-8 - \sqrt{736}}{2} \approx -30$$ + +4. Finde die Eigenvektoren für jeden Eigenwert, indem du $(A - \lambda I)v = 0$ löst: + +Für $\lambda_1 = 4$: + +$$(A - 4I)v = 0$$ + +$$ +\begin{bmatrix} +14 & -20 \\ +24 & -30 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +x_1 \\ +x_2 +\end{bmatrix} += \begin{bmatrix} +0 \\ +0 +\end{bmatrix} +$$ + +Wir können das Gleichungssystem vereinfachen: + +$$14x_1 - 20x_2 = 0$$ + +Da es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt, können wir eine Variable frei wählen (z.B. $x_2 = 1$): + +$$x_1 = \frac{20}{14}$$ + +Eigenvektor für $\lambda_1$: + +$$ +v_1 = \begin{bmatrix} +\frac{10}{7} \\ +1 +\end{bmatrix} +$$ + +Für $\lambda_2 = -30$: + +$$(A - (-30)I)v = 0$$ + +$$ +\begin{bmatrix} +48 & -20 \\ +24 & 4 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +x_1 \\ +x_2 +\end{bmatrix} += \begin{bmatrix} +0 \\ +0 +\end{bmatrix} +$$ + +Wir können das Gleichungssystem vereinfachen: +$$48x_1 - 20x_2 = 0$$ + +Da es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt, können wir eine Variable frei wählen (z.B. $x_2 = 1$): + +$$x_1 = \frac{20}{48}$$ + +Eigenvektor für $\lambda_2$: + +$$ +v_2 = \begin{bmatrix} +\frac{5}{12} \\ +1 +\end{bmatrix} +$$ + +Zusammengefasst haben wir die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren: + +$$ +Eigenwert 1 (\lambda_1): 4 \\ +$$$$ +Eigenvektor 1 (v_1): \begin{bmatrix} +\frac{10}{7} \\ +1 +\end{bmatrix} +$$$$ + +Eigenwert 2 (\lambda_2): -30 \\ +$$$$ +Eigenvektor 2 (v_2): \begin{bmatrix} +\frac{5}{12} \\ +1 +\end{bmatrix} +$$ +$$$$ +Beachte, dass die Eigenvektoren auf einen skalaren Faktor genau bestimmt sind, was bedeutet, dass jeder Vielfache eines Eigenvektors ebenfalls ein Eigenvektor ist. In diesem Fall haben wir die Eigenvektoren auf eine einfachere Form reduziert.