# 1
Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor $x$ in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$ und $\gamma=1$ und die Basisvektoren $a$, $b$ und $c$. 

$x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}$.

Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren $a$, $b$ und $c$ in Bezug auf die neue Basis $p$, $q$ und $v$ finden. Wir erhalten eine Matrix $M$:

$M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix}$,

wobei $P_a$, $P_b$ und $P_c$ die Koordinaten von $a$, $b$ und $c$ bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:

$M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.

Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix $M$ mit dem Vektor $x$:

$x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

Daher sind die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis:

$\alpha' = 2$, $\beta' = -1$, $\gamma' = 1$.

Da wir nun die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten $\alpha' = 2$, $\beta' = -1$ und $\gamma' = 1$ verwenden, um den Vektor $x$ in der neuen Basis auszudrücken:

$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.

Der Vektor $x$ ist also in der neuen Basis gleich:

$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.

Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor $x$ in der neuen Basis $p$, $q$ und $v$ gefunden und den Vektor $x$ in dieser Basis ausgedrückt.

# 2

Vektor x kann in der Basis {a, b, c} wie folgt dargestellt werden:  $$x = \alpha a + \beta b + \gamma c$$  Da wir die baryzentrischen Koordinaten haben: $$\alpha = -4, \beta = 2, \gamma = 3$$ und die Vektoren $$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$  Berechnen wir x:  $$x = -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Jetzt möchten wir x in der neuen Basis {p, q, v} ausdrücken:  $$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v$$  Mit den Vektoren $$p = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}, q = \begin{bmatrix} -4 \\ -7 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$  Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte:  $$-6 = \alpha' + (-4)\beta' + (-1)\gamma'$$ $$0 = 5\alpha' + (-7)\beta'$$  Da der Vektor x im $$\mathbb{R}^2$$ liegt, haben wir nur zwei Gleichungen zur Verfügung. Wir lösen das Gleichungssystem:  $$ \begin{cases} -6 = \alpha' - 4\beta' - \gamma' \\ 0 = 5\alpha' - 7\beta' \end{cases} $$  Das Gleichungssystem hat die Lösung:  $$\alpha' = -\frac{14}{3}, \beta' = -\frac{10}{3}, \gamma' = -\frac{16}{3}$$  Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis {p, q, v}:  $$x = -\frac{14}{3}p -\frac{10}{3}q -\frac{16}{3}v$$`
# 3

Um die Zentralprojektion des Punktes Vektor x auf die durch die Vektoren a und b gegebene Projektionsebene zu finden, verwenden wir die Formel für die Zentralprojektion eines Punktes auf eine Ebene:

$$\textbf{p} = \textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})$$

Dabei ist Vektor $$\textbf{p}$$ der Projektionspunkt auf der Ebene, Vektor $$\textbf{x}$$ der gegebene Punkt, Vektor $$\textbf{c}$$ das Projektionszentrum und $$t$$ ein Skalar, das noch berechnet werden muss.

Um $$t$$ zu berechnen, verwenden wir die Ebenengleichung:

$$(\textbf{p} - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$

Dabei ist Vektor $$\textbf{n}$$ der Normalenvektor der Ebene, der aus dem Kreuzprodukt von Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ berechnet wird:

$$\textbf{n} = \textbf{a} \times \textbf{b}$$

$$\textbf{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Jetzt setzen wir die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ in die Ebenengleichung ein:

$$((\textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})) - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$

$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$

Subtrahiere die Vektoren und multipliziere sie mit Vektor $$\textbf{n}$$:

$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix})) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$

Nun berechnen wir das Skalarprodukt und lösen nach $$t$$ auf:

$$(1 - 2t) * 2 + (1) * 2 + (1 + 2t) * (-1) = 0$$
$$2 - 4t + 2 - 1 - 2t = 0$$
$$3 - 6t = 0$$

$$t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Jetzt setzen wir den Wert von $$t$$ in die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ ein:

$$\textbf{p} = \textbf{x} + \frac{1}{2} (\textbf{c} - \textbf{x})$$

$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})$$

$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Der gesuchte Punkt Vektor $$\textbf{p}$$ der Zentralprojektion des Punktes Vektor $$\textbf{x}$$ in die durch Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ gegebene Projektionsebene durch das Projektionszentrum Vektor $$\textbf{c}$$ ist $$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T$$