obsidian/WS2425/Theoretische Informatik/000-Notes/Notes.md

• Pumping Lemma

Tupel

DEA

5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)

• Q: nichtleere, endliche Menge von Zuständen (Variablen: Kreise)
• ∑: endliches Eingabealphabet (Alphabet: an den Pfeilen)
• δ: Q×∑ → Q Übergangsfunktion (Regeln: Pfeile)
• q0∈Q: Startzustand (Startvariable: Startpfeil)
• F⊆Q: Menge von Endzuständen (ε-Regel: Doppelkreis)

NEA

5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)

• Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
• ∑: endliches Eingabealphabet
• δ: Q×∑ → P(Q) Zustandsüberführungsfunktion (Übergangsfunktion)
• q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)
• F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen (Endzuständen) Hierbei ist P(Q) = {S| S ⊆ Q} die Potenzmenge von Q.

ε-NEA

5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)

• Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
• ∑: endliches Eingabealphabet
• δ: Q×(∑U{ε})→P(Q) Zustandsüberführungsfunktion (Übergangsfunktion)
• q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)
• F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen (Endzuständen) Zusätzlich zum NEA ist das leere Wort als weiterer Übergang möglich. Am 5-Tupel kann man einen NEA nicht von einem ε-NEA unterscheiden!

Mealy/Moore Automaten

6 Tupel: A = (Q, ∑, Γ, δ , θ, q0)

• Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
• ∑: endliches Eingabealphabet
• Γ: endliches Ausgabealphabet
• δ: Q×∑→Q Zustandsüberführungsfunktion
• θ: Q×∑→ Γ Ausgabefunktion
• q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)

PDA

7 Tupel: P = (Q, ∑, Γ, δ , q0, Z, F)

• Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
• ∑: endliches Eingabealphabet
• Γ: endliches Stackalphabet
• δ: Q×(∑È{ε})×Γ→P(Q×Γ*) Überführungsfunktion
• q0∈Q: Startzustand
• Z∈Γ: Initialsymbol des Stacks
• F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen

Abschlußeigenschaften

Reguläre Sprachen

• L1 ∪ L2 Die Vereinigung zweier regulärer Sprachen ist regulär.
• L1 ∩ L2 Der Durchschnitt zweier regulärer Sprachen ist regulär.
• L1 \ L2 Die Differenz zweier regulärer Sprachen ist regulär.
• Lc Das Komplement einer regulären Sprache ist regulär.
• LR Die Spiegelung einer regulären Sprache ist regulär.
• L1 ◦ L2 Die Verkettung zweier regulärer Sprachen ist regulär.
• L* Die Hülle einer regulären Sprache ist regulär.

Kontextfreie Sprachen

• L1 ∪ L2 Die Vereinigung zweier kf. Sprachen ist kf. .
• LR Die Spiegelung einer kf. Sprache ist kf. .
• L1 ◦ L2 Die Verkettung zweier kf. Sprachen ist kf. .
• L* Die Hülle einer kf. Sprache ist kf. . NICHT:
• L1 ∩ L2 Der Durchschnitt zweier kf. Sprachen muss nicht kf. sein: L1 = {0n1n2m | n,m∈N} und L2 = {0m1n2n | n,m∈N} sind kf., L1 Ç L2 = {0n1n2n | n∈N} ist aber nicht kf. (Beweis später).
• Lc Das Komplement einer kf. Sprache muss nicht kf. sein: (dann wäre L1 Ç L2 = (L1c È L2c)c immer kf.)
• L1 \ L2 Die Differenz zweier kf. Sprachen muss nicht kf. sein (dann wäre Lc = ∑*\L immer kf.)

Verfahren

Table Filling Algorithmus

1. Generiere Tabelle von Zuständen. Die Tabelle ist am Anfang leer, d.h. wir nehmen an, dass alle Zustände äquivalent sind.
2. Trage alle Gegenbeispiele der Länge 0 (d.h. Wort ε) ein: Bei ε kommen Endzustände und Nicht-Endzustände zu einem anderen Ergebnis, d.h. markiere alle solche Kombinationen mit einem ε.
3. Trage alle Gegenbeispiele der Länge 1 ein, d.h. für alle offenen Zustands- Paare p und q: Ein Gegenbeispiel für p und q kann nur mit a oder b anfangen. Wohin gehen p und q bei a (b)? Probiere alle Buchstaben a, b, … nacheinander aus:
   • Falls p und q mit a (b) zu den Zuständen x und y gehen und für x/y ein Gegenbeispiel „w“ in der Tabelle ist, dann ist „aw“ („bw“) ein Gegenbeispiel für p und q.
   • Falls nicht, dann erst so lassen.
4. Trage in jeder weiteren Runde alle längeren Gegenbeispiele ein, d.h. für alle offenen p und q: Ein Gegenbeispiel für p und q kann nur mit a oder b anfangen. Wohin gehen p und q bei a (b)? Probiere alle Buchstaben a, b, … nacheinander aus:
   • Falls p und q mit a (b) zu den Zuständen x und y gehen und für x/y ein Gegenbeispiel „w“ in der Tabelle ist, dann ist „aw“ („bw“) ein Gegenbeispiel für p und q.
   • Falls nicht, dann erst so lassen.
5. Ende, wenn in einer Runde keine neuen Gegenbeispiele gefunden.

Umwandlung NEA in DEA

!2-3-NEA.pdf

• Teilmengenkonstruktion
• Umbenennung der Teilmengenkonstruktion
• Optimierte Teilmengenkonstruktion: nicht erreichbare Zustände

Wandlung ε-NEA in NEA

1. Endzustände: Alle Zustände, von denen man mit (einem oder mehreren) ε-Übergängen zu einem Endzustand kommen kann, werden selbst Endzustände.
2. ε-Zyklen (Ausschnitt): Alle Zyklen von ε-Übergängen (d.h. man kann von jedem Zustand in dem Zyklus jeden anderen Zustand durch ε-Übergänge erreichen) werden zu einem Zustand geschrumpft. Weitere Übergänge werden zu Schleifen.
3. ε –Übergänge werden nacheinander (in beliebiger Reihenfolge) ersetzt ε-Übergang q0 nach q1 wird gelöscht. Dafür werden alle Übergänge, die aus q1 rausgehen, verdoppelt und gehen zusätzlich auch aus q0.
4. Lösche alle nicht erreichbaren Zustände

CNF

1. Eliminierung von ε-Produktionen A → ε falls A kein Startzustand (die Produktionen müssen rechts mindestens die Länge 1 haben)
2. Eliminierung von Einheitsproduktionen A → B (Produktionen der Länge 1 dürfen nicht aus einer Variablen bestehen)
3. Eliminierung unnützer Symbole (keine unnütze Variablen erlaubt)
4. Separieren von Terminalen und Variablen in Produktionen (X-Regel) (Produktionen haben rechts entweder Variablen oder Terminale)
5. Aufspalten von Produktionen A → α mit |α|>2 (Y-Regel) (Produktionen haben rechts höchstens die Länge 2)

CYK

1. Sockel: Das Wort w
2. Unterste Ebene (I=J): VI,I = {A∈V | A→wI∈P} (hierfür braucht man nur die Regeln mit einem Terminal zu betrachten)
3. VI,I+1 = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,I ∧ C∈VI+1,I+1} d.h. wenn B das Teilwort wI und C das Teilwort wI+1 erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wIwI+1.
4. VI,J = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,K∧C∈VK+1,J für ein I≤K<J} d.h. wenn B das Teilwort wI…wK und C das Teilwort wK+1…wJ erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wI…wJ.
5. VI,J = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,K∧C∈VK+1,J für ein I≤K<J} d.h. wenn B das Teilwort wI…wK und C das Teilwort wK+1…wJ erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wI…wJ.
6. Akzeptiere w genau dann, wenn S∈V1,|w|

Umwandlung eines RA in einen Automaten: Induktionsanfang

Man kann jeden regulären Ausdruck E in einen ε-NEA A umwandeln, der die selbe Sprache akzeptiert, d.h. L(E)=L(A), so dass

1. Es gibt genau einen Endzustand.
2. Es geht kein Übergang in den Startzustand.
3. Es geht kein Übergang aus dem Endzustand raus. Diese Restriktionen machen das Zusammenbauen von Teilautomaten besonders einfach! !2-6-RA.pdfRechenregel:

• |Zustände| = 2 (|Buchstaben| + |“ODER“| + |“*“|+|“+“|) - |“◦“|

Pumping Lemma