obsidian/Mathe/KW16/UEB.md

Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu berechnen, verfolgen wir die folgenden Schritte:

Gegeben ist die Matrix A:

A = \begin{bmatrix}
18 & -20 \\
24 & -26
\end{bmatrix}

1. Berechne die Determinante von (A - \lambda I), wobei \lambda der Eigenwert und I die Identitätsmatrix ist:

\begin{vmatrix}
18 - \lambda & -20 \\
24 & -26 - \lambda
\end{vmatrix}

2. Berechne die Determinante dieser Matrix:

(18 - \lambda)((-26) - \lambda) - (-20)(24) \lambda^2 - (-8)\lambda - 120

3. Löse das charakteristische Polynom, um die Eigenwerte zu erhalten:

\lambda^2 + 8\lambda - 120 = 0

Mit der quadratischen Formel erhalten wir:

\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

In unserem Fall sind a = 1, b = 8 und c = -120:

\lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 * 1 * (-120)}}{2 * 1} \lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{256 + 480}}{2} \lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{736}}{2}

Die beiden Eigenwerte sind:

\lambda_1 = \frac{-8 + \sqrt{736}}{2} \approx 4 \lambda_2 = \frac{-8 - \sqrt{736}}{2} \approx -30

4. Finde die Eigenvektoren für jeden Eigenwert, indem du (A - \lambda I)v = 0 löst:

Für \lambda_1 = 4:

(A - 4I)v = 0

\begin{bmatrix}
14 & -20 \\
24 & -30
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}

Wir können das Gleichungssystem vereinfachen:

14x_1 - 20x_2 = 0

Da es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt, können wir eine Variable frei wählen (z.B. x_2 = 1):

x_1 = \frac{20}{14}

Eigenvektor für \lambda_1:

v_1 = \begin{bmatrix}
\frac{10}{7} \\
1
\end{bmatrix}

Für \lambda_2 = -30:

(A - (-30)I)v = 0

\begin{bmatrix}
48 & -20 \\
24 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}

Wir können das Gleichungssystem vereinfachen:

48x_1 - 20x_2 = 0

Da es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt, können wir eine Variable frei wählen (z.B. x_2 = 1):

x_1 = \frac{20}{48}

Eigenvektor für \lambda_2:

v_2 = \begin{bmatrix}
\frac{5}{12} \\
1
\end{bmatrix}

Zusammengefasst haben wir die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren:

Eigenwert 1 (\lambda_1): 4 \\
$$$$
Eigenvektor 1 (v_1): \begin{bmatrix}
\frac{10}{7} \\
1
\end{bmatrix}
$$$$

Eigenwert 2 (\lambda_2): -30 \\ 
$$$$
Eigenvektor 2 (v_2): \begin{bmatrix}
\frac{5}{12} \\
1
\end{bmatrix}

Beachte, dass die Eigenvektoren auf einen skalaren Faktor genau bestimmt sind, was bedeutet, dass jeder Vielfache eines Eigenvektors ebenfalls ein Eigenvektor ist. In diesem Fall haben wir die Eigenvektoren auf eine einfachere Form reduziert.