vault backup: 2023-04-25 19:01:36

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Mathe/KW17/KW17.md

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 # 1
-Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor $x$ in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten $\alpha=1$, $\beta=-1$ und $\gamma=1$ und die Basisvektoren $a$, $b$ und $c$. 
 
-$x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}$.
-
-Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren $a$, $b$ und $c$ in Bezug auf die neue Basis $p$, $q$ und $v$ finden. Wir erhalten eine Matrix $M$:
-
-$M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix}$,
-
-wobei $P_a$, $P_b$ und $P_c$ die Koordinaten von $a$, $b$ und $c$ bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen:
-
-$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$
-
-Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:
-
-$M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
-
-Um die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix $M$ mit dem Vektor $x$:
-
-$x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
-
-Daher sind die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis:
-
-$\alpha' = 2$, $\beta' = -1$, $\gamma' = 1$.
-
-Da wir nun die Koordinaten von Vektor $x$ bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten $\alpha' = 2$, $\beta' = -1$ und $\gamma' = 1$ verwenden, um den Vektor $x$ in der neuen Basis auszudrücken:
-
-$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
-
-Der Vektor $x$ ist also in der neuen Basis gleich:
-
-$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
-
-Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor $x$ in der neuen Basis $p$, $q$ und $v$ gefunden und den Vektor $x$ in dieser Basis ausgedrückt.
 
 # 2