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WS2425/Theoretische Informatik/000-Notes/Notes.md

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+- Pumping Lemma
+
+# Tupel
+## DEA 
+5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)
+- Q: nichtleere, endliche Menge von Zuständen (Variablen: Kreise) 
+- ∑: endliches Eingabealphabet (Alphabet: an den Pfeilen) 
+- δ: Q×∑ → Q Übergangsfunktion (Regeln: Pfeile) 
+- q0∈Q: Startzustand (Startvariable: Startpfeil) 
+- F⊆Q: Menge von Endzuständen (ε-Regel: Doppelkreis)
+
+## NEA 
+5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)
+- Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
+- ∑: endliches Eingabealphabet
+- δ: Q×∑ → P(Q) Zustandsüberführungsfunktion (Übergangsfunktion)
+- q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)
+- F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen (Endzuständen)
+Hierbei ist P(Q) = {S| S ⊆ Q} die Potenzmenge von Q.
+## ε-NEA 
+5 Tupel: A = (Q, ∑, δ, q0, F)
+- Q: nichtleere endliche Zustandsmenge
+- ∑: endliches Eingabealphabet 
+- δ: Q×(∑U{ε})→P(Q) Zustandsüberführungsfunktion (Übergangsfunktion) 
+- q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)
+- F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen (Endzuständen)
+Zusätzlich zum NEA ist das leere Wort als weiterer Übergang möglich.
+Am 5-Tupel kann man einen NEA nicht von einem ε-NEA unterscheiden!
+
+## Mealy/Moore Automaten
+6 Tupel: A = (Q, ∑, Γ, δ , θ, q0)
+- Q: nichtleere endliche Zustandsmenge 
+- ∑: endliches Eingabealphabet 
+- Γ: endliches Ausgabealphabet 
+- δ: Q×∑→Q Zustandsüberführungsfunktion 
+- θ: Q×∑→ Γ Ausgabefunktion
+- q0∈Q: Startzustand (Anfangszustand)
+
+## PDA 
+7 Tupel: P = (Q, ∑, Γ, δ , q0, Z, F)
+- Q: nichtleere endliche Zustandsmenge 
+- ∑: endliches Eingabealphabet 
+- Γ: endliches Stackalphabet 
+- δ: Q×(∑È{ε})×Γ→P(Q×Γ*) Überführungsfunktion 
+- q0∈Q: Startzustand 
+- Z∈Γ: Initialsymbol des Stacks 
+- F⊆Q: Menge von akzeptierenden Zuständen
+
+# Abschlußeigenschaften
+
+## Reguläre Sprachen
+- L1 ∪ L2 Die Vereinigung zweier regulärer Sprachen ist regulär. 
+- L1 ∩ L2 Der Durchschnitt zweier regulärer Sprachen ist regulär. 
+- L1 \ L2 Die Differenz zweier regulärer Sprachen ist regulär. 
+- Lc Das Komplement einer regulären Sprache ist regulär. 
+- LR Die Spiegelung einer regulären Sprache ist regulär. 
+- L1 ◦ L2 Die Verkettung zweier regulärer Sprachen ist regulär. 
+- L* Die Hülle einer regulären Sprache ist regulär.
+
+## Kontextfreie Sprachen
+- L1 ∪ L2 Die Vereinigung zweier kf. Sprachen ist kf. . 
+- LR Die Spiegelung einer kf. Sprache ist kf. .
+- L1 ◦ L2 Die Verkettung zweier kf. Sprachen ist kf. . 
+- L* Die Hülle einer kf. Sprache ist kf. .
+NICHT:
+- L1 ∩ L2 Der Durchschnitt zweier kf. Sprachen muss nicht kf. sein: L1 = {0n1n2m | n,m∈N} und L2 = {0m1n2n | n,m∈N} sind kf., L1 Ç L2 = {0n1n2n | n∈N} ist aber nicht kf. (Beweis später). 
+- Lc Das Komplement einer kf. Sprache muss nicht kf. sein: (dann wäre L1 Ç L2 = (L1c È L2c)c immer kf.) 
+- L1 \ L2 Die Differenz zweier kf. Sprachen muss nicht kf. sein (dann wäre Lc = ∑*\L immer kf.)
+# Verfahren 
+## Table Filling Algorithmus 
+1. Generiere Tabelle von Zuständen. Die Tabelle ist am Anfang leer, d.h. wir nehmen an, dass alle Zustände äquivalent sind.
+2. Trage alle Gegenbeispiele der Länge 0 (d.h. Wort ε) ein: Bei ε kommen Endzustände und Nicht-Endzustände zu einem anderen Ergebnis, d.h. markiere alle solche Kombinationen mit einem ε.
+3. Trage alle Gegenbeispiele der Länge 1 ein, d.h. für alle offenen Zustands- Paare p und q: Ein Gegenbeispiel für p und q kann nur mit a oder b anfangen. Wohin gehen p und q bei a (b)? Probiere alle Buchstaben a, b, … nacheinander aus:
+	- Falls p und q mit a (b) zu den Zuständen x und y gehen und für x/y ein Gegenbeispiel „w“ in der Tabelle ist, dann ist „aw“ („bw“) ein Gegenbeispiel für p und q.
+	- Falls nicht, dann erst so lassen.
+4. Trage in jeder weiteren Runde alle längeren Gegenbeispiele ein, d.h. für alle offenen p und q: Ein Gegenbeispiel für p und q kann nur mit a oder b anfangen. Wohin gehen p und q bei a (b)? Probiere alle Buchstaben a, b, … nacheinander aus: 
+	- Falls p und q mit a (b) zu den Zuständen x und y gehen und für x/y ein Gegenbeispiel „w“ in der Tabelle ist, dann ist „aw“ („bw“) ein Gegenbeispiel für p und q.
+	- Falls nicht, dann erst so lassen.
+5. Ende, wenn in einer Runde keine neuen Gegenbeispiele gefunden.
+
+## Umwandlung NEA in DEA 
+![[2-3-NEA.pdf]]
+- Teilmengenkonstruktion
+- Umbenennung der Teilmengenkonstruktion
+- Optimierte Teilmengenkonstruktion: nicht erreichbare Zustände 
+
+## Wandlung ε-NEA in NEA 
+1.  Endzustände: Alle Zustände, von denen man mit (einem oder mehreren) ε-Übergängen zu einem Endzustand kommen kann, werden selbst Endzustände.
+2. ε-Zyklen (Ausschnitt): Alle Zyklen von ε-Übergängen (d.h. man kann von jedem Zustand in dem Zyklus jeden anderen Zustand durch ε-Übergänge erreichen) werden zu einem Zustand geschrumpft. Weitere Übergänge werden zu Schleifen.
+3.  ε –Übergänge werden nacheinander (in beliebiger Reihenfolge) ersetzt ε-Übergang q0 nach q1 wird gelöscht. Dafür werden alle Übergänge, die aus q1 rausgehen, verdoppelt und gehen zusätzlich auch aus q0.
+4. Lösche alle nicht erreichbaren Zustände
+
+## CNF 
+1. Eliminierung von ε-Produktionen A → ε falls A kein Startzustand (die Produktionen müssen rechts mindestens die Länge 1 haben) 
+2. Eliminierung von Einheitsproduktionen A → B (Produktionen der Länge 1 dürfen nicht aus einer Variablen bestehen) 
+3. Eliminierung unnützer Symbole (keine unnütze Variablen erlaubt) 
+4. Separieren von Terminalen und Variablen in Produktionen (X-Regel) (Produktionen haben rechts entweder Variablen oder Terminale) 
+5. Aufspalten von Produktionen A → α mit |α|>2 (Y-Regel) (Produktionen haben rechts höchstens die Länge 2)
+
+## CYK 
+1. Sockel: Das Wort w 
+2. Unterste Ebene (I=J): VI,I = {A∈V | A→wI∈P} (hierfür braucht man nur die Regeln mit einem Terminal zu betrachten)
+3. VI,I+1 = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,I ∧ C∈VI+1,I+1} d.h. wenn B das Teilwort wI und C das Teilwort wI+1 erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wIwI+1.
+4. VI,J = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,K∧C∈VK+1,J für ein I≤K<J} d.h. wenn B das Teilwort wI…wK und C das Teilwort wK+1…wJ erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wI…wJ.
+5. VI,J = { A∈V | ∃ A→BC∈P mit B∈VI,K∧C∈VK+1,J für ein I≤K<J} d.h. wenn B das Teilwort wI…wK und C das Teilwort wK+1…wJ erzeugt und es eine Regel A→BC gibt, dann erzeugt A das Teilwort wI…wJ. 
+6. Akzeptiere w genau dann, wenn S∈V1,|w|
+
+## Umwandlung eines RA in einen Automaten: Induktionsanfang
+ Man kann jeden regulären Ausdruck E in einen ε-NEA A umwandeln, der die selbe Sprache akzeptiert, d.h. L(E)=L(A), so dass 
+ 1. Es gibt genau einen Endzustand. 
+ 2. Es geht kein Übergang in den Startzustand. 
+ 3. Es geht kein Übergang aus dem Endzustand raus. 
+ Diese Restriktionen machen das Zusammenbauen von Teilautomaten besonders einfach!
+ ![[2-6-RA.pdf]]Rechenregel:
+ -  |Zustände| = 2 (|Buchstaben| + |“ODER“| + |“\*“|+|“+“|) - |“◦“|
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+## Pumping Lemma 
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