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# 1
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# 2
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Vektor x kann in der Basis {a, b, c} wie folgt dargestellt werden: $$x = \alpha a + \beta b + \gamma c$$ Da wir die baryzentrischen Koordinaten haben: $$\alpha = -4, \beta = 2, \gamma = 3$$ und die Vektoren $$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ Berechnen wir x: $$x = -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Jetzt möchten wir x in der neuen Basis {p, q, v} ausdrücken: $$x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v$$ Mit den Vektoren $$p = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}, q = \begin{bmatrix} -4 \\ -7 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte: $$-6 = \alpha' + (-4)\beta' + (-1)\gamma'$$ $$0 = 5\alpha' + (-7)\beta'$$ Da der Vektor x im $$\mathbb{R}^2$$ liegt, haben wir nur zwei Gleichungen zur Verfügung. Wir lösen das Gleichungssystem: $$ \begin{cases} -6 = \alpha' - 4\beta' - \gamma' \\ 0 = 5\alpha' - 7\beta' \end{cases} $$ Das Gleichungssystem hat die Lösung: $$\alpha' = -\frac{14}{3}, \beta' = -\frac{10}{3}, \gamma' = -\frac{16}{3}$$ Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis {p, q, v}: $$x = -\frac{14}{3}p -\frac{10}{3}q -\frac{16}{3}v$$`
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# 3
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Um die Zentralprojektion des Punktes Vektor x auf die durch die Vektoren a und b gegebene Projektionsebene zu finden, verwenden wir die Formel für die Zentralprojektion eines Punktes auf eine Ebene:
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$$\textbf{p} = \textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})$$
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Dabei ist Vektor $$\textbf{p}$$ der Projektionspunkt auf der Ebene, Vektor $$\textbf{x}$$ der gegebene Punkt, Vektor $$\textbf{c}$$ das Projektionszentrum und $$t$$ ein Skalar, das noch berechnet werden muss.
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Um $$t$$ zu berechnen, verwenden wir die Ebenengleichung:
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$$(\textbf{p} - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$
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Dabei ist Vektor $$\textbf{n}$$ der Normalenvektor der Ebene, der aus dem Kreuzprodukt von Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ berechnet wird:
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$$\textbf{n} = \textbf{a} \times \textbf{b}$$
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$$\textbf{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
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Jetzt setzen wir die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ in die Ebenengleichung ein:
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$$((\textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})) - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0$$
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$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$
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Subtrahiere die Vektoren und multipliziere sie mit Vektor $$\textbf{n}$$:
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$$(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix})) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$$
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Nun berechnen wir das Skalarprodukt und lösen nach $$t$$ auf:
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$$(1 - 2t) * 2 + (1) * 2 + (1 + 2t) * (-1) = 0$$
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$$2 - 4t + 2 - 1 - 2t = 0$$
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$$3 - 6t = 0$$
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$$t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
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Jetzt setzen wir den Wert von $$t$$ in die Gleichung für Vektor $$\textbf{p}$$ ein:
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$$\textbf{p} = \textbf{x} + \frac{1}{2} (\textbf{c} - \textbf{x})$$
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$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})$$
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$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$
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$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
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$$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$
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Der gesuchte Punkt Vektor $$\textbf{p}$$ der Zentralprojektion des Punktes Vektor $$\textbf{x}$$ in die durch Vektor $$\textbf{a}$$ und Vektor $$\textbf{b}$$ gegebene Projektionsebene durch das Projektionszentrum Vektor $$\textbf{c}$$ ist $$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T$$
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