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Um die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis zu finden, müssen wir zunächst den Vektor x in der Standardbasis berechnen. Dazu verwenden wir die gegebenen Koordinaten \alpha=1, \beta=-1 und \gamma=1 und die Basisvektoren a, b und c.
x = \alpha a + \beta b + \gamma c = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix}.
Als nächstes müssen wir den Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen Basis finden. Das bedeutet, wir müssen die Koordinaten der alten Basisvektoren a, b und c in Bezug auf die neue Basis p, q und v finden. Wir erhalten eine Matrix M:
M = \begin{bmatrix} P_a & P_b & P_c \end{bmatrix},
wobei P_a, P_b und P_c die Koordinaten von a, b und c bezüglich der neuen Basis sind. Um diese Koordinaten zu finden, müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen:
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_a \\ P_b \\ P_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}
Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:
M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
Um die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis zu finden, multiplizieren wir die Inverse von Matrix M mit dem Vektor x:
x' = M^{-1} \cdot x = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}.
Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis:
\alpha' = 2, \beta' = -1, \gamma' = 1.
Da wir nun die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis gefunden haben, können wir die Koordinaten \alpha' = 2, \beta' = -1 und \gamma' = 1 verwenden, um den Vektor x in der neuen Basis auszudrücken:
x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v = 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}.
Der Vektor x ist also in der neuen Basis gleich:
x = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}.
Zusammenfassend haben wir die Koordinaten von Vektor x in der neuen Basis p, q und v gefunden und den Vektor x in dieser Basis ausgedrückt.
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Vektor x kann in der Basis {a, b, c} wie folgt dargestellt werden: x = \alpha a + \beta b + \gamma c Da wir die baryzentrischen Koordinaten haben: \alpha = -4, \beta = 2, \gamma = 3 und die Vektoren a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} Berechnen wir x: x = -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix} Jetzt möchten wir x in der neuen Basis {p, q, v} ausdrücken: x = \alpha' p + \beta' q + \gamma' v Mit den Vektoren p = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}, q = \begin{bmatrix} -4 \\ -7 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte: -6 = \alpha' + (-4)\beta' + (-1)\gamma' 0 = 5\alpha' + (-7)\beta' Da der Vektor x im \mathbb{R}^2 liegt, haben wir nur zwei Gleichungen zur Verfügung. Wir lösen das Gleichungssystem: \begin{cases} -6 = \alpha' - 4\beta' - \gamma' \\ 0 = 5\alpha' - 7\beta' \end{cases} Das Gleichungssystem hat die Lösung: \alpha' = -\frac{14}{3}, \beta' = -\frac{10}{3}, \gamma' = -\frac{16}{3} Daher sind die Koordinaten von Vektor x bezüglich der neuen Basis {p, q, v}: $$x = -\frac{14}{3}p -\frac{10}{3}q -\frac{16}{3}v$$`
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Um die Zentralprojektion des Punktes Vektor x auf die durch die Vektoren a und b gegebene Projektionsebene zu finden, verwenden wir die Formel für die Zentralprojektion eines Punktes auf eine Ebene:
\textbf{p} = \textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})
Dabei ist Vektor \textbf{p} der Projektionspunkt auf der Ebene, Vektor \textbf{x} der gegebene Punkt, Vektor \textbf{c} das Projektionszentrum und t ein Skalar, das noch berechnet werden muss.
Um t zu berechnen, verwenden wir die Ebenengleichung:
(\textbf{p} - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0
Dabei ist Vektor \textbf{n} der Normalenvektor der Ebene, der aus dem Kreuzprodukt von Vektor \textbf{a} und Vektor \textbf{b} berechnet wird:
\textbf{n} = \textbf{a} \times \textbf{b}
\textbf{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
Jetzt setzen wir die Gleichung für Vektor \textbf{p} in die Ebenengleichung ein:
((\textbf{x} + t(\textbf{c} - \textbf{x})) - \textbf{a}) \cdot \textbf{n} = 0
(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0
Subtrahiere die Vektoren und multipliziere sie mit Vektor \textbf{n}:
(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix})) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0
Nun berechnen wir das Skalarprodukt und lösen nach t auf:
(1 - 2t) * 2 + (1) * 2 + (1 + 2t) * (-1) = 0
2 - 4t + 2 - 1 - 2t = 0
3 - 6t = 0
t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
Jetzt setzen wir den Wert von t in die Gleichung für Vektor \textbf{p} ein:
\textbf{p} = \textbf{x} + \frac{1}{2} (\textbf{c} - \textbf{x})
\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})
\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
\textbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\textbf{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
Der gesuchte Punkt Vektor \textbf{p} der Zentralprojektion des Punktes Vektor \textbf{x} in die durch Vektor \textbf{a} und Vektor \textbf{b} gegebene Projektionsebene durch das Projektionszentrum Vektor \textbf{c} ist \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T